(تامپسن،۱۹۹۲؛ کرینر، ۱۹۹۶؛ جاروسکی، ۱۹۹۸): در این معنا، به راستی تدریس را می‌توان به عنوان فعالیت طرح مسئله در نظر گرفت. بنابراین، در این معنا معلمان تصمیم گیرندگان هستند. علاوه بر این، رویکرد سازنده‌گرایانه برای تدریس ریاضیات، به ویژه در زمینه اجتماعی اش و در ارتباط با اصول ویگوتسکی (لرمن،۱۹۹۲) دو دلالت مهم بر تدریس دارد. دلالت نخست این که، معلم و همچنین شاگرد، شخصی است که تفسیر خاصی از واقعیت به ویژه در متون، رئوس مطالب، و هدف‌های تدریس در رشته خاص دارد (کارپنتر، ۱۹۸۸؛ آرزک و همکاران، ۱۹۹۲؛ کونی، ۱۹۹۴). یک چنین تفسیری از دانش معلمان و همچنین اعتقاد و ارزش‌های آن‌ها به عمل می‌آید. دلالت دوم این است که در تدریس ریاضیات معلمان بایستی فراتر از انتقال صرف دانش از طریق واژه‌ها یا اعمال مناسب، عمل کنند (کُب، ۱۹۸۸؛ سیمون و اسکیفتر، ۱۹۹۱؛ کُب و همکاران، ۱۹۹۲؛ جاورسکی، ۱۹۹۲، ۱۹۹۴؛ پیری و کرِن، ۱۹۹۲؛ استف و کرِن، ۱۹۹۴؛ سیمون، ۱۹۹۵). آن‌ها نه تنها مسؤلیت ایجاد یک محیطی که به شاگردان کمک کند به فهم ریاضی نائل شوند را بر عهده دارند، بلکه همچنین بایستی فرضیه‌هایی درباره ساخت‌های مفهومی دانش‌آموزان ارائه کرده و استراتژی‌های آموزشی مناسبی را برای تعدیل چنین ساخت‌ها به خدمت گیرند.
برخی از محققان (برای مثال آن‌هایی که دیدگاه ویگوتسکی را اختیار می‌کنند) به طور ویژه‌ای بر نقش معلم در ایجاد فهم ریاضی تأکید می‌کنند، این محققان تأکید می‌کنند که معلمان یک راهنما در “منطقه تقریبی رشد ” هستند: بنابراین، این نقش نه تنها در تصمیم‌گیری درباره تکلیف، بلکه در انتخاب استراتژی‌های ارتباطی برای استفاده در تعامل کلاسی نیز حیاتی است (بارتولینی باسی، ۱۹۹۸). این عناصر، آنچه که در اواسط دهه ۷۰ اتفاق افتاده است را توضیح می‌دهد: تحقیق درباره تدریس از مطالعات بر روی پدیده‌های صرفاً قابل مشاهده از قبیل رفتار معلم، به مطالعات درباره فرایندهای تصمیم‌گیری معلم تغییر جهت داده است (شیولسون و استرن، ۱۹۸۱؛ کلارک و پترسون، ۱۹۸۶). در این مطالعات معلمان به عنوان “متخصصان فکور و اندیشمند ” در نظر گرفته می‌شوند (شولمن و الستاین، ۱۹۷۵، به نقل از پترسون، ۱۹۸۸) که قضاوت‌هایی را به عمل می‌آورند و تصمیماتی را در یک محیط پیچیده اتخاذ می‌کنند (شیولسون و استرن، ص۵۴۶). بنابراین، مسائل زیر در تحقیق بر روی تدریس از اهمیت بیشتری برخوردار می‌شود: ۱- تعیین موقعیت تصمیمات معلمان که بر یادگیری شاگردان تأثیر می‌گذارد و ماهیت این تأثیر؛ ۲- پیدا کردن عواملی که بر این تصمیمات اثر می‌گذارند.
تصمیمات معلمان می‌تواند بر اساس معیارهای مختلف طبقه‌بندی شود، مهم‌ترین تصمیمات بایستی با زمان و لحظه حیاتی تعامل با دانش‌آموزان انجام شوند، و این امر، تصمیمات گرفته شده در مرحله پیش از فعالیت را از تصمیماتی که در مرحله تعاملی و مرحله پس از فعالیت اتخاذ می‌شود، مجزا می‌کند (جکسون، ۱۹۶۸؛ براون و برکو، ۱۹۹۲). با این حال، تصمیمات می‌توانند از لحاظ گونه شناسی نیز طبقه‌بندی شوند: کونی (۱۹۸۸) از تصمیمات شناختی (مربوط به محتوا)، تصمیمات عاطفی (مربوط به جنبه‌های بیشتر بین فردی تدریس) و تصمیمات مدیریتی (شامل اختصاص زمان) نام می‌برد. البته این دو معیار می‌تواند ترکیب شود: برای مثال، یک تصمیم محتوا که در مرحله پیش از فعالیت اتفاق می‌افتد، تصمیم‌گیری بر روی مسائلی که در برنامه آموزشی ارائه می‌شود و یا از آن حذف می‌شود را در بر می‌گیرد. همان طور که کارپنتر تأکید کرده است، الگوی معلم به عنوان حل کننده مسئله یا تصمیم گیرنده، که امروزه توسط بسیاری از محققان در آموزش ریاضیات نیز مورد توجه قرار گرفته است، نیاز به تحقیق بر روی تدریس و تحقیق بر روی حل مسئله را برجسته می‌کند. در حالی که قبلاً تأکید بر روی دانش معلمان بود، با تکامل تحقیق بر روی حل مسئله و فرایندهای یادگیری- و به ویژه اهمیت یافتن فراشناخت- کاوش درباره جنبه‌های دیگر از قبیل باورهای معلمان، آگاهی و عواطف‌شان مورد تشویق قرار گرفته است.
تأثیر دانش و باورهای معلمان بر روی عمل‌شان
مطابق با یافته‌های بسیاری از تحقیقات، دانش و باورهای معلمان تأثیر شگرفی بر روی عمل دارد. بایستی هر یک از این عوامل را به طور خاص تحلیل کرد، لیکن این تمایز کاملاً نظری و مصنوعی است، چرا که در واقع آن‌ها همواره در تعامل بسیار نزدیک با هم هستند.
دانش معلمان
اگرچه بسیاری اتفاق نظر دارند که دانش معلم قویاً تصمیمات او را تحت تأثیر قرار می‌دهد، لیکن هیچ توافقی بر سر آنچه دانش اساسی است وجود ندارد. در ابتدا، تحقیق درباره دانش معلمان عمدتاً بر روی دانش در زمینه موضوع درسی ریاضیات متمرکز می‌شد. نخستین مطالعات که سعی داشتند رابطه علت و معلولی بین دانش موضوعی معلم و یادگیری شاگرد نشان دهند (گروه مطالعه ریاضیات مدرسه، ۱۹۷۲؛ آیزنبرگ، ۱۹۷۷) خیلی موفق نبودند. چند سال بعد، شولمن (b1986)، با در نظر گرفتن برخی از دیدگاه‌های دیوئی (۱۹۰۲)، در نهایت هفت قلمرو دانش را شناسایی کرد: ۱- دانش درباره موضوع (یا دانش محتوا)؛ ۲- دانش محتوای تربیتی؛ ۳- دانش درباره سایر محتوا؛ ۴- دانش درباره برنامه درسی؛ ۵- دانش درباره فراگیران؛ ۶-دانش درباره اهداف تربیتی؛ ۷- دانش تربیتی کلی. در زمینه آموزش ریاضیات توجه خاصی به سه طبقه زیر معطوف شده است: دانش محتوایی، دانش برنامه درسی، و دانش محتوای تربیتی. خلاق‌ترین ایده دانش محتوای تربیتی است که دانش درباره محتوا و دانش درباره پداگوژی را تلفیق می‌کند. علاوه بر شولمن، محققان دیگر تأکید می‌کنند که دانش معلم دارای چندین مؤلفه است. چهارچوب‌های متفاوتی برای تحلیل دانش معلم مطرح شده است، برای مثال، توسط الباز (۱۹۸۳) و لی اینهارت و همکاران (۱۹۸۶، ۱۹۹۱). در تحقیق درباره تأثیر دانش معلم بر روی تصمیمات او، مطالعات جالبی وجود دارند که به پروژه‌ای به نام “آموزش از لحاظ شناختی هدایت شده” تعلق دارند.
کارپنتر و موزر (۱۹۸۳) اشاره می‌کنند که دانش معلمان درباره تفکر کودکان می‌تواند یک تأثیر مهم بر روی تصمیمات معلمان و در نتیجه یادگیری کلاسی داشته باشد: معلمان در آموزش هدایت شده شناختی آماده گوش فرا دادن به شاگردانشان می‌شوند، به دانش‌آموزان خاص توجه می‌کنند، و وقت بیشتری برای درگیر شدن در حل مسئله صرف می‌کنند. با نشان دادن اهمیت دانش محتوایی، این مطالعات پیشنهاد می‌کنند که معلمان بایستی به نتایج پژوهشی دسترسی داشته باشند. البته این نتایج نبایستی به الگوهایی برای تقلید تبدیل شوند، بلکه آن‌ها بایستی به معلمان برای اتخاذ تصمیمات درست کمک کنند؛ همان طور که بلچف (۱۹۹۹، ص۲۶۹) مورد تأکید قرار داده است ” هدف ساختن یک مجموعه دانش درباره پدیده‌ها و فرایندهای مربوط به تدریس و یادگیری ریاضیات است. هدف اجتماعی یک چنین اقدامی این است که معلمان خودشان بتوانند موقعیت تدریس- یادگیری را کنترل کنند، نه این که فرایندهای آماده ساخته شده را بازتولید کنند. این دانش بایستی معلمان را قادر سازد تا مسائل عملی که با آن مواجه می‌شوند را حل کنند و عمل‌شان را با کلاس واقعی منطبق کنند”.
باورهای معلمان
مهم نیست که یک چهارچوب برای تحلیل دانش معلمان انتخاب شود، دانش معلمان به عنوان یک سیستم وسیع و در هم تنیده در نظر گرفته می‌شود که جدا کردن اجزای آن مشکل می‌باشد (فِنما و فرانک، ۱۹۹۲). به ویژه جدا کردن دانش و باورهای معلمان غیر ممکن است. تحقیق بر روی باورهای معلمان عمدتاً در اواخر دهه ۷۰ همزمان با تغییر در پارادایم‌های تحقیق بر روی تدریس – تغییر از پارادایم رفتار معلمان به تفکرات و تصمیمات آن‌ها- رشد یافت (رجوع شود به پیمایش‌های تامپسون، ۱۹۹۲، و هویلز، ۱۹۹۲). امروزه تحقیق بر روی باورهای معلمان یک قلمرو بسیار مهم در تحقیق کلی‌تر درباره تدریس می‌باشد (علاوه بر تامپسون، ۱۹۹۲ و هویلز، ۱۹۹۲؛ به کرینر و گافری، ۱۹۹۸ مراجعه شود). باورهای معلمان که معمولاً در آموزش ریاضیات مورد کاوش قرار می‌گیرند دو نکته زیر را در کانون توجه خود قرار می‌دهند (تامپسون، ۱۹۹۲): ۱- باورهایی درباره ریاضیات؛ ۲- باورهایی درباره تدریس و یادگیری ریاضیات. این طبقه‌بندی شامل یک تنوع گسترده‌ای از قلمروهای پژوهشی می‌شود، لیکن سایر مباحثی که مورد ملاحظه قرار می‌گیرند به طور خاص به ریاضیات تعلق ندارند. باورهای کاملاً مربوط آن‌هایی هستند که معلمان درباره شاگردانشان رشد می‌دهند (هوفر، ۱۹۸۱). مطالعه رزنتال و جی کوبسن (۱۹۶۶) بر روی به اصطلاح “اثر پیگ مِلی ین ” یک پیشگام در این زمینه است: اثر پیگ ملی ین نشان می‌دهد که انگاره‌ای که معلمان خودشان درباره شاگردان می‌سازند تأثیر شگرفی بر روی عملکرد شاگردان دارد.
