رسالة دکتری ریاضی ـ گرایش آموزش ریاضی

تاریخ انتشار: سه شنبه سوم آبان 1390

رسالة دکتری ریاضی ـ گرایش آموزش ریاضی

پژوهشگر: مانی رضائی استاد راهنما: دکتر زهرا گویا (دانشگاه شهید بهشتی) تاریخ دفاع: تیر 1390 دانشگاه شهید بهشتی مقدمه تفکر ترکیبیاتی، اصطلاحی آشنا در متون آموزشی است که پیاژه آن را به‌کار برد. وی از این واژه در بررسی فعالیت کودکان در جریان محاسبة تعداد ترکیب‌ها، ترتیب‌ها و شمارش جایگشت‌ها استفاده کرد. بسط و تعمیم تعریفی که پیاژه برای تفکر ترکیبیاتی به‌کار برد، به مباحث پیشرفتة ریاضیات ترکیبیاتی، بخصوص ”شمارش“ به مفهوم عام آن، یکی از هدف‌های این رساله بود. رساله با هدف تبیین ماهیت تفکر ترکیبیاتی و بررسی چگونگی رویارویی افراد با مسئله‌های شمارشی، به انجام رسید و با شناخت ویژگی‌های تفکر ترکیبیاتی همراه شد. روش پژوهش
پژوهشگر: مانی رضائی استاد راهنما: دکتر زهرا گویا (دانشگاه شهید بهشتی) تاریخ دفاع: تیر 1390 دانشگاه شهید بهشتی مقدمه تفکر ترکیبیاتی، اصطلاحی آشنا در متون آموزشی است که پیاژه آن را به‌کار برد. وی از این واژه در بررسی فعالیت کودکان در جریان محاسبة تعداد ترکیب‌ها، ترتیب‌ها و شمارش جایگشت‌ها استفاده کرد. بسط و تعمیم تعریفی که پیاژه برای تفکر ترکیبیاتی به‌کار برد، به مباحث پیشرفتة ریاضیات ترکیبیاتی، بخصوص ”شمارش“ به مفهوم عام آن، یکی از هدف‌های این رساله بود. رساله با هدف تبیین ماهیت تفکر ترکیبیاتی و بررسی چگونگی رویارویی افراد با مسئله‌های شمارشی، به انجام رسید و با شناخت ویژگی‌های تفکر ترکیبیاتی همراه شد. روش پژوهش پژوهشگر با مشاهده تنوع توانایی‌های محاسباتی و استدلالی یادگیرندگان، بر آن بود تا بررسی ماهیت این توانایی‌ها را در تمام مراحل تحصیلی در یک مطالعه طولیاز دبستان تا دانشگاه مورد توجه قرار دهد و هدف اولیه، «شناخت ماهیت تفکر ترکیبیاتی» در تمام مباحث ترکیبیاتی و برای تمام دوره‌های تحصیلی (سنی) بود. ولی انجام چنین پژوهشی، نیازمند «شرایط عادی» بود که از نظر زمانی، چنین پژوهشی بسیار زمان‌بر بود و با محدودیت‌های زمانی و امکانی انجام یک رساله دکتری، سازگار نبود. بنابراین، پژوهشگر با جرح و تعدیل پژوهش، بر آن شد تا موضوع پژوهش را به «شمارش» به‌عنوان یکی از مباحث مهم و قابل مطالعه ترکیبیاتی، محدود کند. از سوی دیگر، تجزیه و تحلیل تجربه‌های تدریسی، مطالعات نظری و تجارب یادگیری پژوهشگر، وی را به این جمع‌بندی رساند که راهبردهای دانشجویان برای حل مسئله‌های ترکیبیاتی، شباهت قابل‌توجهی به راهبردهای دانش‌آموزان دارد. تفکر ترکیبیاتی دانش‌آموزان به‌طور روشمند، نظام‌وار، فراگیر و گسترده‌ای متأثر از دانشگاه است، زیرا ورود ترکیبیات به برنامه درسی مدرسه‌ای نسبتاً جدید است و بیشتر کسانی که به‌عنوان معلم به کلاس درس مدرسه برمی‌گردند و تفکر ترکیبیاتی را از طریق برنامه درسی رسمی در دانش‌آموزان توسعه می‌دهند، اولین زمان آشنایی‌شان با ترکیبیات در دانشگاه بوده است و بر خلاف درس‌هایی مانند هندسه، راهبردهای آنان شکل ساده شدة راهبردهای دانشگاهی است. به‌همین دلیل شرکت‌کنندگان در این پژوهش به دانشجویان دانشگاه محدود شد و با این دو محدودیت («مسئله‌های شمارشی» و «دانشجویان») برنامه‌ریزی برای اجرای این پژوهش انجام شد. از آن‌جا که این پژوهش نظریه‌مدار[1] نبود، بلکه نظریه‌ساز[2] بود، روش تحقیق کیفی برای آن انتخاب شد. پرسش‌های پژوهش به‌دلیل نقش مهم شمارش در مباحث ترکیبیاتی، موضوع شمارش محور این پژوهش قرار گرفت و با این انتخاب، پرسش اصلی زیر مطرح شد: » یادگیرنده برای حل مسئله‌های شمارشی با چه چالش‌هایی روبه‌روست؟ در پاسخ به این پرسش، یافته‌های پژوهش به اختصار چنین است: (1) درک مسئله و یافتن برخی از حالت‌های مطلوب مسئله؛ (2) تشخیص حالت‌های نامطلوب و رده‌بندی حالت‌های مطلوب؛ (3) پیدا کردن «تمام» حالت‌های ممکن برای شمارش؛ (4) به‌دست آوردن روشی که تمام حالت‌های ممکن را تولید کند؛ (5) استفاده از راهبردهای متنوع برای شمارش حالت‌ها؛ (6) ایجاد ارتباط بین مسئله پیش‌رو با مسئله‌های ترکیبیاتی دیگر؛ (7) استفاده از استدلال‌های ترکیبیاتی به‌ویژه برای شمارش حالت‌ها. هر یک از موارد بالا، به‌عنوان چالشی پیش روی یادگیرندگان که در جریان حل مسئله‌های شمارشی با آن‌ها روبه‌رو می‌شوند، شناسایی و رده‌بندی شد و با استفاده از این رده‌بندی، پنج سطح زیر، به‌عنوان سطح‌های شناختی تفکر ترکیبیاتی شناسایی شدند: سطح1. پیدا کردن و بررسی حالت‌های ممکن؛ سطح2. اطمینان از این‌که «تمام حالت‌ها» به‌دست آمده است؛ سطح3. پیدا کردن روشی برای تولید تمام حالت‌ها؛ سطح4. تبدیل مسئله به مسئله‌های دیگر ترکیبیاتی؛ سطح5. درک استدلال‌های ترکیبیاتی. پرسش‌های دیگری که در جریان این پژوهش مطرح شدند و پاسخ هر یک از آن‌ها چنین است: » تفاوت بین مسئله‌حل‌کن تازه‌کار و خبره در رابطه با مسئله‌های شمارشی چیست؟ » وجوه تمایز و تشابه تفکر ترکیبیاتی و انواع شناخته شده تفکر ریاضی چیست؟ پرسش نخست، در مباحث دیگر ریاضی نیز بارها مطرح شده است و پاسخ به این پرسش را می‌توان زیرمجموعه‌ای از عوامل متعددی دانست که در پاسخ به این پرسش، و در حالت کلی‌تر، بیان شده است. در جریان این پژوهش، دو تفاوت عمده در این دو گروه مشاهده شد: نخست، درک مسئله و بررسی‌های مقدماتی برای شناخت حالت‌های مختلف مسئله است؛ و دوم، تفاوت در سرعت آنان برای انتخاب راهبرد «مناسب» و سپس اجرای آن بود. در بیشتر موارد، انتخاب راهبرد متناسب با مسئلة پیش رو، با توجه به تجربة رویارویی با مسئله‌های مشابه انجام شد. هر دو گروه (مسئله حل‌کن‌های تازه‌کار و خبره)، سطح‌های تفکر ترکیبیاتی را طی می‌کنند، اما سرعت عبور از هر یک از این سطح‌ها متفاوت است. در برخی موارد، طی شدن سه سطح نخست به‌گونه‌ای بود که به نظر می‌رسید ترکیبی از این سطح‌ها طی شده است. به همین دلیل، این سه سطح متمایز، مرتبط به هم هستند. حتی در مواردی ترتیب این سطح‌ها (مانند سطح‌های 2 و 3) عوض شد، بنابر این نتیجه‌گیری شد که سطح‌های تفکر ترکیبیاتی، سلسله مراتبی نیستند. در پاسخ به دومین پرسش و بررسی وجوه تمایز و تشابه تفکر ترکیبیاتی با انواع شناخته شدة تفکر ریاضی، مطالعة عمیق‌تر تفکر ریاضی، تفکر هندسی، و تفکر جبری انجام شد و در جست‌وجوی ویژگی‌های انواع تفکر، این نکته مورد توجه قرار گرفت که استقلال برخی مباحث مقدماتی ترکیبیات از موضوعات دیگر ریاضیات باعث شده تا امکان ورود این مباحث به پایه‌های تحصیلی پایین‌تر فراهم شود و برخلاف مباحث دیگر ریاضی که پیشنیازهای متعددی دارند، در مباحث ترکیبیات (مقدماتی)، حتی کودکان بدون نیاز به توانایی درک مفاهیم مجرد، می‌توانند درگیر مسئله‌های آن شوند. همین موضوع باعث شده که در برنامة درسیِ ترکیبیات و روش‌های تدریس آن، تنوع بیشتری مشاهده شود و یک روند سلسله مراتبی «سنتی» برای ارایه مباحث ترکیبیاتی وجود ندارد. بدین ترتیب، «شروع‌های متنوعی» برای این مباحث وجود دارد و در عمل، سطح‌های شناختی تفکر ترکیبیاتی می‌تواند مستقل از هم شکل بگیرند. از سوی دیگر، شباهت‌هایی بین تفکر ترکیبیاتی با تفکر جبری مشاهده می‌شود که عمدتاً در انتخاب نمادها و نمادسازی، درک ساختارهای مشابه، و مانند آن است. هم‌چنین، تفکر ترکیبیاتی و تفکر هندسی نیز شباهت‌هایی از جمله «توانایی تشخیص دیداری و کشف روابط بین آن‌ها» که در سطح 2 تفکر هندسی فن‌هیلی‌ـ‌فن‌هیلی مطرح شده است، یا در «ارایه استنتاج غیررسمی با استفاده از استدلال استقرایی» (سطح 3 تفکر هندسی) وجود دارد. هم‌چنین با توجه به مفاهیم ترکیبیاتی، می‌توان «دقت» (سطح 5 تفکر هندسی) را نیز به تفکر ترکیبیاتی تعمیم داد. بازتابی بر پژوهش انجام شده بحث در مورد تفکر ریاضی، ممکن است با این پرسش همراه باشد که آیا تفکیک ”تفکر ریاضی“ به انواع تفکر مناسب است؟مجموعة ویژگی‌هایی از قبیل درک مفاهیم مجرد ریاضی، تشخیص و رده‌بندی، کار با نمادها، دقت، تمرکز، توانایی‌های محاسبه‌ای، توانایی‌های استدلالی، استفاده از رهیافت‌ها در حل مسئله، رویکردهای حل مسئله‌ای، و مانند آن؛ تفکر ریاضی را شکل می‌دهند، و انواع ”تفکر ریاضی“ مانند تفکر هندسی، تفکر جبری، یا تفکر ترکیبیاتی به‌کمک این ویژگی‌ها شناخته می‌شوند که ممکن است در حالی‌که آن‌ها در یک یا چند ویژگی با هم اشتراک دارند. در همان حال، ویژگی اختصاصی خود را داشته باشند. برای مثال، توانایی رده‌بندی حالت‌ها (در شمارش) را می‌توان از جمله ویژگی‌های ”تفکر ترکیبیاتی“ به‌حساب آورد. با توجه به ورود مباحث ترکیبیاتی به آموزش عمومی، پژوهش‌های آموزشی پیرامون تدریس ترکیبیات اهمیت بیشتری به‌دست آورد، اما چگونگی تدریس این مباحث، موضوع این رساله قرار نگرفت، زیرا پژوهشگر بر این باور بود (و هست) که با شناخت ”ماهیت تفکر ترکیبیاتی“ معلمان می‌توانند به شناخت واقع‌بینانه‌تر و عمیق‌تری از فرایند یاددهی ـ یادگیری دست یابند و در نهایت، به ارتقای کیفیت تدریس آنان در ترکیبیات بیانجامد. [1]Theory-driven